Teorema de Green y algunos ejemplos (Introducción)

Teorema de Green (Calculo lll)

Gerardo Jesús Mota Olguín Teorema de Green(Introducción) Una curva cerrada C que es frontera de una región elemental tiene dos orientaciones: Ø      la contraria al sentido de las manecillas del reloj (positiva) Ø      la del sentido de las manecillas del reloj (negativa) Denotemos C con orientación opuesta a la de las manecillas del reloj por C+ ,  y con la orientación de las manecillas como C- (ver Figura 1) Figura 1 La frontera de una región y-simple se puede descomponer en sus partes inferior y superior C1 y C2  y (en su caso) segmentos verticales a la izquierda y derecha B1 y B2 . Siguiendo la Figura 2, escribimos: C+ = C1+ + B2+ + C2- + B1- Figura 2 Podemos hacer una descomposición semejante de la frontera de una región x-simple en trozos izquierdo y derecho, y (en su caso) segmentos horizontales superior e inferior (ver Figura 3). Teorema de Green: Este teorema relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble en la región encerrada por C. El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas C = C1 + C2 con las orientaciones indicadas en la Figura 4. Figura 4 Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D1, D2 , D3  y D4 y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la frontera de una región con una integral de área sobre el interior de la región o viceversa: Podemos usar el teorema para obtener una fórmula para calcular el área de una región acotada por una curva cerrada simple. Esto es: Si  P(x , y) = -y    Q(x , y) = x, entonces: Ejemplo 1: Sea a > 0. Calcular el área (ver escena 5) de la región encerrada por la hipocicliode definida por: usando la parametrización: Solución: Según el teorema de Green y usando las identidades trigonométricas obtenemos: En el ejemplo anterior hemos utilizado el Teorema de Green para calcular una integral doble utilizando una integral de línea, el ejemplo siguiente ilustra una aplicación inversa. Ejemplo 2.- Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea: donde C es la gráfica ilustrada en la Figura 5: Solución: Como P = y3 y Q = x3 + 3xy2 , se tiene: Aplicando el Teorema de Green: Cabe mencionar que el teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de línea.  Referencias Introduction to Continuum Mechanics. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 jul. 2009 Multivariable Calculus. James Stewart. Cengage Learning, 22 mar. 2011 An Informal History of Green’s Theorem and Associated Ideas. James Joseph Cross. Department of Mathematics, University of Melbourne, 1975